Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left[0;2\right]\), thỏa mãn các điều kiện f(2) = 1 và \(\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{2}{3}\) Giá trị của f(1) bằng
Những câu hỏi liên quan
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[0;1\right]\) thoả mãn \(f\left(1\right)=0\) ; \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=7\) và \(\int\limits^1_0x^2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{3}\) . Tính \(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\) .
Xét \(I=\int\limits^1_0x^2f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=x^2dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}x^3.f\left(x\right)|^1_0-\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0x^3.f'\left(x\right)dx=-\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0x^3f'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0x^3f'\left(x\right)dx=-1\)
Lại có: \(\int\limits^1_0x^6.dx=\dfrac{1}{7}\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+14\int\limits^1_0x^3.f'\left(x\right)dx+49.\int\limits^1_0x^6dx=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)+7x^3\right]^2dx=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)+7x^3=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=-7x^3\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\int-7x^3dx=-\dfrac{7}{4}x^4+C\)
\(f\left(1\right)=0\Rightarrow C=\dfrac{7}{4}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0\left(-\dfrac{7}{4}x^4+\dfrac{7}{4}\right)dx=...\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[-1;3\right]\) thoả mãn \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=3\) và \(\int\limits^3_1f\left(x\right)dx=6\) . Tính \(\int\limits^3_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx\)
\(\int\limits^3_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^1_0f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^3_1f\left(\left|x\right|\right)dx\)
\(=\int\limits^0_{-1}f\left(-x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)
\(=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)
\(=3+3+6=12\)
Đúng 1
Bình luận (1)
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \(\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=6\). Tính tích phân I = \(\int\limits^2_0f\left(2x+2\right)dx\)
Đặt \(2x+2=u\Rightarrow2xdx=du\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=2\\x=2\Rightarrow u=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^6_2f\left(u\right).\dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(u\right)du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}.6=3\)
Đúng 2
Bình luận (0)
câu 2: a) cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên[1;2] thỏa mãn \(\int\limits^2_1\) f'(x)dx=10 và \(\int\limits^2_1\) \(\dfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\) dx=ln2.Biết f(x)>0 ∀x∈[1;2] . tính f(2)b)Tính diện tích hinh phẳng giới hạn bởi...
Xem chi tiết
2a. Đề sai, nhìn biểu thức \(\dfrac{f'\left(x\right)}{f'\left(x\right)}dx\) là thấy
2b. Đồ thị hàm số không cắt Ox trên \(\left(0;1\right)\) nên diện tích cần tìm:
\(S=\int\limits^1_0\left(x^4-5x^2+4\right)dx=\dfrac{38}{15}\)
3a. Phương trình (P) theo đoạn chắn:
\(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{-2}=1\)
3b. Câu này đề sai, đề cho mặt phẳng (Q) rồi thì sao lại còn viết pt mặt phẳng (Q) nữa?
Đúng 1
Bình luận (1)
3b. \(\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(3;-1;-2\right)\)
Do (P) song song (Q) nên (P) cũng nhận \(\left(3;-1;-2\right)\) là 1 vtpt
Do đó pt (P) có dạng:
\(3\left(x-0\right)-1\left(y-0\right)-2\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x-y-2z+2=0\)
Đúng 1
Bình luận (1)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \([-\Pi;\Pi]\)
Chứng minh: \(\int\limits^{\Pi}_0x.f\left(sinx\right)dx=\dfrac{\Pi}{2}\int\limits^{\Pi}_0f\left(sinx\right)dx\)
cho f(x) là hàm số liên tục trên R;\(\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=-5,\int\limits^3_1f\left(2x\right)dx=10\) tính giá trị của \(\int\limits^2_0f\left(3x\right)dx\)
Lời giải:
Ta có : \(10=\int ^{3}_{1}f(2x)dx=\frac{1}{2}\int ^{3}_{1}f(2x)d(2x)=\frac{1}{2}\int ^{6}_{2}f(x)dx\)
\(\Rightarrow \int ^{6}_{2}f(x)d(x)=20\)
Mà \(\int ^{2}_{0}f(x)dx=-5\Rightarrow \int ^{6}_{0}f(x)dx=15\)
Do đó mà \(\int ^{2}_{0}f(3x)dx=\frac{1}{3}\int ^{2}_{0}f(3x)d(3x)=\frac{1}{3}\int ^{6}_{0}f(x)dx=5\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn 0,1 thỏa mãn f(1)=1,\(\int\limits^1_0\left(f'\left(x\right)\right)^2dx\)=9 và \(\int\limits^1_0x^3f\left(x\right)dx\)=\(\dfrac{1}{2}\)
tích phân \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)???
1) Cho hàm số f(x) liên tục trên R+ thỏa mãn f (x) ge x+dfrac{1}{x},forall xin R^+ và f(1) 1. CM : fleft(2right)gedfrac{5}{2}+ln2.
2) Cho hàm số y f(x) 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn : gleft(xright)1+2018intlimits^x_0fleft(tright)dt , g(x) f2 (x). Tính intlimits^1_0sqrt{gleft(xright)}dx.
3) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) 1; intlimits^1_0left[fleft(xright)right]^2dx9 và intlimits^1_0x^3fleft(xright)dxdfrac{1}{2}. Tính tích phân intl...
Đọc tiếp
1) Cho hàm số f(x) liên tục trên R+ thỏa mãn f '(x) \(\ge x+\dfrac{1}{x},\forall x\in R^+\) và f(1) = 1. CM : \(f\left(2\right)\ge\dfrac{5}{2}+ln2\).
2) Cho hàm số y = f(x) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn : \(g\left(x\right)=1+2018\int\limits^x_0f\left(t\right)dt\) , g(x) = f2 (x). Tính \(\int\limits^1_0\sqrt{g\left(x\right)}dx\).
3) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1; \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=9\) và \(\int\limits^1_0x^3f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}\). Tính tích phân \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\).
Tính :
a) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0cos2x.sin^2dx
b) intlimits^1_{-1}left|2^x-2^{-x}right|dx
c) intlimits^2_1dfrac{left(x+1right)left(x+2right)left(x+3right)}{x^2}dx
d) intlimits^2_0dfrac{1}{x^2-2x-3}dx
e) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0left(sin x+cos xright)^2dx
g) intlimits^{pi}_0left(x+sin xright)^2dx
Đọc tiếp
Tính :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos2x.\sin^2dx\)
b) \(\int\limits^1_{-1}\left|2^x-2^{-x}\right|dx\)
c) \(\int\limits^2_1\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{x^2}dx\)
d) \(\int\limits^2_0\dfrac{1}{x^2-2x-3}dx\)
e) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\sin x+\cos x\right)^2dx\)
g) \(\int\limits^{\pi}_0\left(x+\sin x\right)^2dx\)
a)
Ta có:
∫π20cos2xsin2xdx=12∫π20cos2x(1−cos2x)dx=12∫π20[cos2x−1+cos4x2]dx=14∫π20(2cos2x−cos4x−1)dx=14[sin2x−sin4x4−x]π20=−14.π2=−π8∫0π2cos2xsin2xdx=12∫0π2cos2x(1−cos2x)dx=12∫0π2[cos2x−1+cos4x2]dx=14∫0π2(2cos2x−cos4x−1)dx=14[sin2x−sin4x4−x]0π2=−14.π2=−π8
b)
Ta có: Xét 2x – 2-x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.
Ta tách thành tổng của hai tích phân:
∫1−1|2x−2−x|dx=−∫0−1(2x−2−x)dx+∫10(2x−2−x)dx=−(2xln2+2−xln2)∣∣0−1+(2xln2+2−xln2)∣∣10=1ln2∫−11|2x−2−x|dx=−∫−10(2x−2−x)dx+∫01(2x−2−x)dx=−(2xln2+2−xln2)|−10+(2xln2+2−xln2)|01=1ln2
c)
∫21(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫21x3+6x2+11x+6x2dx=∫21(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln|x|−6x]∣∣21=(2+12+11ln2−3)−(12+6−6)=212+11ln2∫12(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫12x3+6x2+11x+6x2dx=∫12(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln|x|−6x]|12=(2+12+11ln2−3)−(12+6−6)=212+11ln2
d)
∫201x2−2x−3dx=∫201(x+1)(x−3)dx=14∫20(1x−3−1x+1)dx=14[ln|x−3|−ln|x+1|]∣∣20=14[1−ln2−ln3]=14(1−ln6)∫021x2−2x−3dx=∫021(x+1)(x−3)dx=14∫02(1x−3−1x+1)dx=14[ln|x−3|−ln|x+1|]|02=14[1−ln2−ln3]=14(1−ln6)
e)
∫π20(sinx+cosx)2dx=∫π20(1+sin2x)dx=[x−cos2x2]∣∣π20=π2+1∫0π2(sinx+cosx)2dx=∫0π2(1+sin2x)dx=[x−cos2x2]|0π2=π2+1
g)
I=∫π0(x+sinx)2dx∫π0(x2+2xsinx+sin2x)dx=[x33]∣∣π0+2∫π0xsinxdx+12∫π0(1−cos2x)dxI=∫0π(x+sinx)2dx∫0π(x2+2xsinx+sin2x)dx=[x33]|0π+2∫0πxsinxdx+12∫0π(1−cos2x)dx
Tính :J=∫π0xsinxdxJ=∫0πxsinxdx
Đặt u = x ⇒ u’ = 1 và v’ = sinx ⇒ v = -cos x
Suy ra:
J=[−xcosx]∣∣π0+∫π0cosxdx=π+[sinx]∣∣π0=πJ=[−xcosx]|0π+∫0πcosxdx=π+[sinx]|0π=π
Do đó:
I=π33+2π+12[x−sin2x2]∣∣π30=π33+2π+π2=2π3+15π6
Đúng 0
Bình luận (0)